La funzione della domanda di Hicksian: con diagramma | Utilità | microeconomia

Le misure di welfare di Hicksian possono essere utilizzate per la valutazione di qualsiasi cambiamento di stato purché l'utilità indiretta dell'agente per il reddito sia ben definita prima e dopo il cambiamento. L'insieme di vettori di materie prime ottimali nell'EMP è indicato come h (p, u) ⊂ RL + . È noto come Hicksian o domanda compensata corrispondente o funzione se valutato singolarmente. La figura mostra il set di soluzioni h (p, u) per due diversi vettori di prezzo p e p '.

Le proprietà di base della funzione di domanda di Hicksian sono spiegate come segue:

Supponiamo che u (.) Sia una funzione di utilità continua che rappresenta una relazione di preferenza non saziata localmente ≥ definita sul set di consumo X = RL + . Quindi per ogni p »0, la corrispondenza della domanda di Hicksian h (p, u) possiede le seguenti due proprietà. L'omogeneità del grado zero in P segue perché il vettore ottimale. Il px minimizzante è soggetto a u (x) ≥ u. È lo stesso di quello per minimizzare ∝px È soggetto a questo vincolo per qualsiasi scalare ∝> 0.

Spiegheremo le proprietà e le prove nel seguente paragrafo:

Proprietà 1:

Nessuna utilità in eccesso per qualsiasi x ϵ h (p, u), u (x) = u

Prova:

Questa proprietà segue dalla continuità di u (.). Supponiamo che esista un xϵh (p, u), tale che u (x)> u.

Se consideriamo un bundle x '= ϵ x, dove ∝ϵ (0, 1). Per continuità per ∝ abbastanza vicino a 1.u (x ') ≥u e p.x' <p.x1 in contraddizione con x ottimale in EMP con livello di utilità richiesto u.

Proprietà 2:

Convessità / Unicità:

Se ≥ è strettamente convesso, allora u (.) È strettamente quasi concavo. Quindi c'è un elemento unico in h (P, u).

Se è presente la funzione di utilità u (x 1, x 2 ) = ∝ In x 1 + (1-∝) lnx 2 . Quindi sostituendo x 1 (p, w) e x 2 (p, w) in u (x) abbiamo,

Come UMP, quando u (.) È differenziato, il pacchetto di consumo ottimale nell'EMP può essere caratterizzato utilizzando la condizione del primo ordine. La condizione del primo ordine presenta una stretta somiglianza con quelle dell'UMP.

Proposta 1:

Se assumiamo che u (.) Sia differenziabile e mostri che la prima condizione dell'ordine per EMP è la seguente:

E

Per alcuni λ ≥ 0, confrontalo con le condizioni del primo ordine per l'UMP.

Usando la proposizione di cui sopra, possiamo mettere in relazione la corrispondenza della domanda di Hicksian e Walrasian come segue:

La prima di queste relazioni spiega l'uso del termine corrispondenza della domanda compensata per descrivere h (p, u). Supponiamo che la variazione del prezzo, h (p, u) fornisca il livello di domanda che sorgerebbe se la ricchezza dei consumatori venisse regolata simultaneamente per mantenere il livello di utilità a voi. Il governo aiuta i consumatori attraverso beni agevolati. In India, è fatto attraverso il sistema di distribuzione pubblico. Questo tipo di compensazione patrimoniale per il consumatore è illustrato nel diagramma sopra. È noto come compensazione della ricchezza di Hicksian.

Il diagramma sopra mostra che la situazione iniziale dei consumatori è la coppia di ricchezza dei prezzi (p, w); i prezzi poi cambiano in p ', dove p ' 1 = p 1 e p ' 2 > p 2 .

La compensazione patrimoniale hicksiana è definita come segue:

Pertanto la funzione di domanda h (p, u) mantiene fisso il livello di utilità del consumatore al variare dei prezzi. In accordo con la funzione della domanda walrasiana mantiene fissa la ricchezza monetaria ma consente alle utility di variare.

Come per il valore funziona EMP e UMP, le relazioni ci consentono di sviluppare un legame stretto tra le proprietà della corrispondenza della domanda di Hicksian h (p, u) e la corrispondenza della domanda di Walrasian x (p, w).

La domanda di Hicksian e la legge compensata della domanda :

La proprietà della domanda di Hicksian è che soddisfa la legge della domanda compensata. Il prezzo e la domanda delle materie prime si muovono in direzioni opposte. La variazione di prezzo è accompagnata da un indennizzo di ricchezza di Hicksian.

Proposition1:

Se u (.) È una funzione di utilità continua che rappresenta una relazione di preferenza locale senza sazietà ≥ e che h (p, u) è costituito da un singolo elemento per tutti p »0.

Quindi la funzione di domanda di Hicksian h (p, u) soddisfa la legge della domanda compensata:

Per tutti p 'e p ",

Prova:

Per ogni pk ”o, il pacchetto di consumo h (p, u) è ottimale nell'EMP e quindi consente di ottenere una spesa inferiore a prezzi p rispetto a qualsiasi altro pacchetto che offre un livello di utilità di almeno u.

Perciò:

e

Sottraendo queste due disuguaglianze si ottengono i risultati.

Funzioni di domanda e spesa di Hicksian per la funzione di utilità Cobb-Douglas :

Se assumiamo che il consumatore abbia la funzione di utilità Cobb-Douglas sui due beni. Quello è u (x 1, x 2 ) = x 1 ax 1 1-a. Derivando le condizioni del primo ordine per l'EMP e sostituendo i vincoli u (h 1 (p, u), h 2 (p, u) = u, otteniamo le funzioni della domanda di Hicksian.

&

Se lo calcoliamo come segue:

E (p, u) = ph (p, u) produce la seguente equazione

La funzione sopra è la domanda di Hicksian e le funzioni di spesa per la funzione di utilità Cobb-Douglas.

 

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